X
تبلیغات
ریاضی - اعداد مختلط

ریاضی

ریاضیات

اعداد مختلط

عدد مختلط عددی به فرم a + bi است که در آن a و b از اعداد حقیقی و i عدد موهومی برابر با ریشهٔ دوم عدد ۱- است.

اعداد مختلط از کجا آمدند
همان طور که میدانید یک معادله درجه دو مثل ax2 + bX + c = 0 در اعداد حقیقی وقتی که Delta = b2 − 4avc مقداری منفی باشد گوئیم جواب ندارد.این یعنی اداد حقیقی شمول همه اعداد نیست پس اعداد مختط تعریف شدد. عدد مختلط a + bi را می‌توان به صورت (a,b) نوشت. برای اینکه مفهوم اعداد مختلط را نتوجه شوید ،ابتدا باید با اعداد مختلط آشنایی کامل داشته باشید. عداد مختلط: می خواهیم معادله را حل کنیم.این معادله درمجموعه های دارای جواب نیست. برای اینکه هیچ عددی بتوان 2 و به علاوه 1 صفر نمیشود.همچنین اگرعددی به توان زوج برسد،غیرممکن است که علامت آن منفی شود.«با به پشت مساوی بردن معلوم معادله(1+) می بینیم که مجهول عددیست که به توان رسیده ومنفی شده که محال است».اما باید گفت که اعداد را با علامت دیگری غیر از+و- شان میدهیم؛ آن علامت شامل اعداد مختلط و متناهی می شود. در اعداد متناهی این قانون هست که عددی با بتوان زوج رسیدن منفی هم بشود.این اعداد رابا علامت نشان می دهند. برای یک عدد حقیقی( )عدد متناهی را به صورت زیر نشان میدهند: اعدادی راکه دارای علامت i هستند را موهومی می گوئیم. پس باتوجه به مطالب فوق دریافته ایدکه:جواب معادله درمجموعه ی اعداد متناهی دارای دو جواب است: i,+i- اعداد متناهی: به نظر شما اگر دلتای معادله ی درجه دومی منفی بودچطور می توان ریشه معادله موردنظر را پیداکرد؟ می خواهیم معادله ی را حل کنیم. حل:

ازطرفی: ملاحظه می کنیم دو جوابی که بدست آمده اند بطورخالص نه حقیقی و نه موهومی به شمار می روند. لذاچنین اعدادی را در گروه اعداد مختلط جای دارند. یک عدد مختلط به صورت زوج مرتب :z=(x,y)معرفی می شوند.x: مولفه حقیقی و y: مولفه موهومی نام دارد. اعداد مختلط را می توان بصورت روبرو نشان داد: z=x+iy مزدوج آنر بصورت روبرو نشان می دهیم: 85.133.173.228 ۱۷:۲۸, ۱۹ ژوئیه ۲۰۰۶ (UTC) هرگاه مولفه های دو عدد مختلط دو به دو برابر بود؛آنرا؛دو عدد مختلط برابرنامیده می شود.

نکته:این اعداد همچون سایر مجموعه اعداد دارای خواصص توزیع پذیری،شرکت پذیری و جابجایی نیز هست.



میدان اعداد مختلط () میدان اعداد حقیقی () را به صورت زیر میدان، شامل می‌شود. درضمن z=(x,y) --->: x:مولفه حقیقی است و y:مولفه موهومی است.

مطمئناً همه‌ي شما با اعداد گويا آشنا هستيد و درباره‌ي جبر آن‌ها مطالب زيادي شنيده‌ايد، از جمله اين كه جمع هر عدد گويا با خودش، عددي گويا و يا ضرب هر عدد گويا در خودش، عددي گويا است. امّا تا به حال از خود پرسيده‌ايد كه آيا هر عدد گويا به توان خودش لزوماً عددي گويا مي‌شود؟ يقيناً اگر عدد گوياي صحيح داشته باشيم اين حكم درست است امّا اگر عدد گوياي ما غير صحيح باشد چه طور؟ براي اين منظور حكم شگفت انگيز زير را دنبال كنيد:


حكم: اگر X عدد گوياي غير صحيحي باشد آن‌گاه  گنگ است.
اثبات: همان‌طور كه مي‌دانيم هر عدد گويا را مي‌توان به شكل نوشت كه در آن p و q اعداد صحيح و  هستند. چون X عدد گوياي غير صحيح است، مي‌توان آن را به صورت  نوشت كه در آنa و bاعداد صحيح و 1=(a,b) و 1

حالت الف) 1

 

چون 1

چون1

از طرفي با توجه به اين كه نتيجه مي‌شود كه . از دو رابطه ي اخير نتيجه مي‌شود: . (2)
اكنون توجه شما را به لم زير جلب مي‌كنيم:
لم: اگر p عددي اوّل و  دلخواه باشد آن‌گاه  .
اثبات لم: با استقراء‌ بر m . [جزئيات به عهده‌ي خواننده].

چون رابطه ي (2) و لم فوق با هم در تناقض هستند پس حالت الف) اتفاق نمي‌افتد.

حالت ب) 1=d .با مروري بر قسمت قبل، مي‌توان دريافت كه اين حالت نيز اتفاق نمي‌افتد.[به (*) توجه كنيد ].

اين بحث نشان مي‌دهد كه گنگ است و به اين ترتيب اين حكم شگفت انگيز اثبات مي‌شود.
 عدد طلائی عددیست ، تقریباَ مساوی 1.618 ، که خواص جالب بسیاری دارد ، و بعلت تکرار زیاد آن در هندسه ، توسط ریاضیدانان کهن مطالعه شده است . اشکال تعریف شده با نسبت طلائی ، از نظر زیبائی شناسی در فرهنگهای غربی دلپذیر شناخته شده، چون بازتابنده خاصیتی بین تقارن و عدم تقارن است.

دنیای اعداد بسیار زیباست و شما می توانید در آن شگفتیهای بسیاری را بیابید. در میان اعداد برخی از آنها اهمیت فوق العاده ای دارند، یکی از این اعداد که سابقه آشنایی بشر با آن به هزاران سال پیش از میلاد میرسد عددی است بنام "نسبت طلایی" یا Golden Ratio. این نسبت هنوز هم بارها در هنر و طراحی استفاده می شود . نسبت طلائی به نامهای برش طلائی ، عدد طلائی ، نسبت الهی نیز شناخته می شود و معمولاَ با حرف یونانی ، مشخص می شود.

 

تعریف

نحوه محاسبه نسبت عدد طلائی


پاره خطی را در نظر بگیرید و فرض کنید که آنرا بگونه ای تقسیم کنید که نسبت بزرگ به کوچک معادل نسبت کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد. به شکل توجه کنید. اگر این معادله ساده یعنی را حل کنیم (کافی است بجای b عدد یک قرار دهیم بعد a را بدست آوریم) به نسبتی معادل تقریبا
1.61803399 یا 1.618 خواهیم رسید.

کاربردها


شاید باور نکنید اما بسیاری از طراحان و معماران بزرگ برای طراحی محصولات خود امروز از این نسبت طلایی استفاده می کنند. چرا که بنظر میرسد ذهن انسان با این نسبت انس دارد و راحت تر آنرا می پذیرد. این نسبت نه تنها توسط معماران و مهندسان برای طراحی استفاده می شود. بلکه در طبیعت نیز کاربردهای بسیاری دارد.
برش اهرام و نسبت طلایی اهرام مصر یکی از قدیمی ترین ساخته های بشری است که در آن هندسه و ریاضیات بکار رفته شده است. مجموعه اهرام Giza در مصر که قدمت آنها به بیش از 2500 سال پیش از میلاد می رسد یکی از شاهکارهای بشری است که در آن نسبت طلایی بکار رفته است. به این شکل نگاه کنید که در آن بزرگترین هرم از مجموعه اهرام Giza خیلی ساده کشیده شده است.

مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا" 1.61804 می باشد. این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد یعنی چیزی حدود یک صد هزارم. باز توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که اگر معادله فیثاغورث را برای این مثلث قائم الزاویه بنویسم به معادله ای مانند phi2=phi+b2 خواهیم رسید که حاصل جواب آن همان عدد معروف طلایی خواهد بود. (معمولا" عدد طلایی را با phi نمایش می دهند)

طول وتر برای هرم واقعی حدود 356 متر و طول ضلع مربع قاعده حدودا" معادل 440 متر می باشد بنابر این نسبت 356 بر 220 (معادل نیم ضلع مربع) برابر با عدد 1.618 خواهد شد.

+ نوشته شده در  پنجشنبه بیستم آبان 1389ساعت 20:40  توسط محمد رضا علی مردانی  |